בגרות 582 חורף 2019 – אליפסה: מקום גאומטרי, שטח והיקף מרובע המוקדיםהנדסה אנליטית 572 · שיעור 110
בגרות 582 · חורף 2019 · שאלה 1
שיעור 110 – בגרות 582 חורף 2019 – אליפסה: מקום גאומטרי, שטח והיקף מרובע המוקדים
פרק 10 – פתרון בגרויות 582
1נוסח השאלה
2סעיף א – המקום הגאומטרי הוא אליפסה
3סעיף ב (1) – השטח הגדול ביותר
4סעיף ב (2) – ההיקף
📄 נוסח השאלה
מעגל שמרכזו M חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה A , כמתואר בציור. ממרכז המעגל העבירו אנך לציר ה־y , החותך את הציר בנקודה E . נתון כי AE = 6 .
נתון גם כי מרחק הנקודה M מראשית הצירים הוא מחצית מן האורך של רדיוס המעגל.
א. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות את נתוני השאלה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.
📄 נוסח השאלה · המשך
נסמן ב־F1 וב־F2 את מוקדי האליפסה שאת משוואתה מצאתם בסעיף א. הנקודות D1 ו־D2 הן נקודות על האליפסה. שיעור ה־y של D1 חיובי ושיעור ה־y של D2 שלילי.
ב. (1) מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי עבור המרובע F1D1F2D2 . נמקו.
(2) האם קיים מרובע F1D1F2D2 בעל היקף גדול ביותר? נמקו.
סעיף א – המקום הגאומטרי הוא אליפסה
נסמן M(x , y) ואת הרדיוס ב־R . הנקודה E(0 , y) , ולכן ME = |x| . במשולש MEA הזווית ב־E ישרה, ו־MA = R :
R2 = ME2 + AE2
📐 משפט פיתגורס
R2 = x2 + 36
המרחק של M מהראשית הוא חצי מהרדיוס:
√x2 + y2 = R2
📐 מרחק בין שתי נקודות
מעלים בריבוע וכופלים ב־4:
📐 משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
סעיף א – המקום הגאומטרי הוא אליפסה · המשך
מעלים בריבוע וכופלים ב־4:
4(x2 + y2) = R2
נציב R2 = x2 + 36 :
4x2 + 4y2 = x2 + 36
3x2 + 4y2 = 36
מחלקים ב־36:
סעיף א – המקום הגאומטרי הוא אליפסה · המשך
מחלקים ב־36:
x212 + y29 = 1
📐 אליפסה קנונית
זו משוואה של אליפסה, ולכן כל הנקודות M נמצאות על אליפסה.
✅ פתרון סופי: x212 + y29 = 1
📐 אליפסה קנונית
x2a2 + y2b2 = 1
c2 = a2 − b2
מוקדים (±c , 0)
c2 = a2 − b2
מוקדים (±c , 0)
סעיף ב (1) – השטח הגדול ביותר
מתוך המשוואה: a2 = 12 , b2 = 9 :
c2 = a2 − b2 = 12 − 9 = 3
📐 אליפסה קנונית
F1(−√3 , 0) , F2(√3 , 0)
האלכסון F1F2 על ציר ה־x מחלק את המרובע לשני משולשים. D1 מעל הציר ו־D2 מתחתיו, והגבהים הם |y| של כל אחת:
S = 2√3 · yD₁2 + 2√3 · |yD₂|2
📐 שטח משולש
S = √3(yD₁ + |yD₂|)
📐 אליפסה קנונית
x2a2 + y2b2 = 1
c2 = a2 − b2
מוקדים (±c , 0)
c2 = a2 − b2
מוקדים (±c , 0)
📐 שטח משולש
S = a · h2
סעיף ב (1) – השטח הגדול ביותר · המשך
S = √3(yD₁ + |yD₂|)
השטח הגדול ביותר כששני הגבהים הכי גדולים. על האליפסה |y| ≤ b = 3 , והמקסימום בקודקודים (0 , 3) ו־(0 , −3) :
S = √3(3 + 3) = 6√3
בסקיצה: המרובע הגדול ביותר בירוק, ומרובע אחר לדוגמה באפור.
✅ פתרון סופי: 6√3
סעיף ב (2) – ההיקף
ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות. נסדר אותו לפי הנקודות:
P = (D1F1 + D1F2)
+ (D2F1 + D2F2)
לפי הגדרת האליפסה, לכל נקודה עליה סכום המרחקים מהמוקדים הוא 2a :
P = 2a + 2a = 4a = 4√12 = 8√3
📐 הגדרת האליפסה
ההיקף שווה ל־8√3 לכל מרובע כזה – הוא קבוע. לכן אין מרובע עם היקף גדול ביותר: לכולם אותו היקף.
📐 הגדרת האליפסה
PF1 + PF2 = 2a
סעיף ב (2) – ההיקף · המשך
ההיקף שווה ל־8√3 לכל מרובע כזה – הוא קבוע. לכן אין מרובע עם היקף גדול ביותר: לכולם אותו היקף.
✅ פתרון סופי: לא , ההיקף קבוע 8√3
📌 סיכום התשובות
סעיף א
x212 + y29 = 1
סעיף ב (1)
6√3
סעיף ב (2)
לא – ההיקף קבוע
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא